Люди древнего мира путешествовали довольно далеко, и, конечно, им не приходилось рисовать карты и отмечать на них расположение гор и рек, городов и стран, удобные дороги и опасные места... Но пользуясь готовой картой, трудно найти на ней город, если знаешь только его название. (Попробуйте отыскать на глобусе город Ресифи! Даже если я подскажу, что это в южной Америке, вам придется повозиться!)

Поэтому все путешественники должны быть вечно благодарны древнегреческому ученому Гиппарху, около 100 года до н.э. предложившему нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготу.

Долгое время лишь география — «землеописание» — пользовалась этим замечательным изобретением, и только в XIV веке французский математик Никола Оресм попытался приложить его к «землеизмерению» — геометрии (это лишний раз показывает, как давно и как далеко геометрия оторвалась от земли...). Он нарисовал на плоскости сетку из прямых линий, пересекающихся под прямыми углами, и стал задавать местоположение точек широтой и долготой.

Идея оказалась чрезвычайно плодотворной. Первым, кто по достоинству оценил новшество и обнаружил, какие обширные горизонты оно открывает перед наукой, был великий француз Рене Декарт (1596—1650). Его имя носит теперь прямоугольная система координат, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до «нулевой широты» — оси абсцисс и «нулевого меридиана» — оси ординат.

По традиции, введенной Декартом, «широта» точки обозначается буквой х, «долгота» — буквой у. Чем же так замечательна декартова система координат?

До ее появления не существовало единого подхода к решению геометрических задач. В огромном количестве их (особенно таких, как задачи на построение и доказательство) каждый раз приходилось заново придумывать способ решения. Обозначив точки плоскости парами чисел х и у, оказалось возможным изучать связь между координатами различных точек, записывая уравнения и решая их. А уравнения многих очень сложных объектов оказались неожиданно простыми. Вот пример. 

Великий древнегреческий геометр Аполлоний проделал титанический труд, изучая форму кривых, получающихся при разрезании конуса плоскостью. Эти кривые — эллипс, гипербола и парабола — были долгое время одними из самых сложных объектов, известных геометрам. Но в декартовых координатах они задаются уравнениями, содержащими лишь первые и вторые степени координат (например, точки эллипса задает уравнение х2/а2 + у2/в2 = 1, где а и в — конкретные числа). Выходит, это лишь следующий уровень сложности после прямых линий, в уравнении которых координаты входят только в первой степени...


 

А теперь посмотрим чуть внимательнее на окружность с центром в начале координат (рис.2). Она задается уравнением х2 + у2 = В2 (ведь каждая ее точка — вершина прямоугольного треугольника с катетами х и у и гипотенузой Л, и, разумеется, сумма квадратов катетов в каждом треугольнике равна квадрату гипотенузы). Красивая формула! Но окружность можно задать еще проще. Рис. 2 Нужно ТОЛЬКО ПО-
другому ввести координаты, и сейчас мы это сделаем.

Вместо двух осей нарисуем одну — луч, выходящий из начала координат, точки О. Каждая точка плоскости лежит на каком-то (другом или этом, выбранном) луче. Ее расстояние до начала координат будет первой координатой; обозначим ее буквой г. Второй же будет угол, на который надо повернуть (против часовой стрелки) нашу ось, чтобы совместить ее с лучом, на котором находится нужная точка; угол этот обозначим буквой (рис.3). Такая система координат называется полярная ось.


 

начало луча — точку О — называют полюсом, сам луч — полярной осью. Коренное отличие от декартовой системы бросается в глаза: одна и та же точка может иметь много угловых координат, отличающихся на 2л (360 градусов).

В пространстве тоже можно построить декартову систему координат, добавив к прямоугольным координатам плоскости перпендикулярную — ось аппликат. Вслед за Декартом соответствующую координату точки обозначают буквой г. В трехмерном пространстве, исчисленном этими координатами, легко поддаются изучению геометрические тела довольно причудливых форм, сложность которых столь же обманчива, сколь сложность эллипса.

Иногда оказывается очень полезной пространственная сестра полярной системы координат — цилиндрическая. Она получается из полярной системы плоскости добавлением вертикальной оси. А цилиндрической ее называют потому, что точки с постоянной величиной г образуют цилиндр.


 

Другая сестра полярной системы координат на самом деле вам уже хорошо знакома. Это сферическая система, в которой положение точки определяют одно расстояние и два угла. Ее называют сферической, ибо поверхности равных радиусов здесь — сферы... Вы еще не догадались, как называют углы и где вы встречались с этими координатами? Разумеется, один угол называют широтой, а другой долготой, каждый раз при взгляде на глобус вспоминайте, что параллели и меридианы — это угловые координаты на поверхности постоянного радиуса, на которой мы живем.


Между прочим... Древние греки развивали свою алгебру при помощи геометрических построений.

Тогда не было алгебры без геометрии. Прошли века, алгебра отделилась от геометрии и зажила самостоятельной жизнью. И вот с введением в геометрию координат две ветви математики снова тесно переплелись: не стало геометрии без алгебры!..

Частные мастера Винтовые лестницы на второй этаж

Дренажная система водоотвода вокруг фундамента - stroidom-shop.ru

Правильное создание сайтов в Киеве https://atempl.com/r/