Помимо круга, квадрата, треугольников существует масса других геометрических фигур. Дать всем им название не представляется возможным. Поэтому, как в биологии, где растения и животных разделяют на классы, геометрические фигуры разделяют на классы фигур, похожих между собой. Одним из таких классов являются выпуклые фигуры.

Слово «выпуклый» не является для нас новым. Однако попробуйте дать этому понятию четкое определение, и вы увидите, что это не так просто. Посмотрим, как это делается в «Словаре русского языка» С.И.Ожегова. Читаем: «Выпуклый — имеющий дугообразную поверхность, обращенную наружу». А что значит «дугообразный»? Читаем: «Дугообразный — имеющий форму дуги». Что же такое дуга? «Дуга — часть окружности, круга или кривой линии». Тут наше терпение лопается, поскольку линии могут быть самыми разнообразными. Будет ли треугольник выпуклой фигурой? Из приведенных «определений» ничего определенного сказать нельзя.

В математике понятие выпуклой фигуры имеет четко определенный смысл: фигура называется выпуклостью, если вместе с любыми двумя ее точками А и В этой фигуре принадлежит весь отрезок АВ. Теперь ясно, что треугольник — выпуклая фигура, а четырехугольники бывают как выпуклые, так и не выпуклые (рис.1).

Рис. 1

А какие теоремы можно доказать про выпуклые фигуры? Таких теорем много. Вот две простейшие.

Общая часть двух выпуклых фигур сама является выпуклой фигурой. Доказательство этого утверждения совсем простое: возьмем две точки А и В, принадлежащие как первой фигуре, так и второй. Но так как эти фигуры выпуклые, то отрезок, соединяющий точки А и В принадлежит и первой и второй фигуре, значит, он принадлежит их общей части.

Вторая теорема доказывается более сложно, но факт, содержащийся в ней, гораздо неожиданнее. Если на плоскости задано несколько плоских фигур, каждые три из которых имеют общую точку, то найдется точка, принадлежащая всем этим фигурам.

Требование выпуклости здесь  очень важно.

Ведь четыре фигуры на рис. 2, из которых только одна выпуклая, таковы, что у любых трех найдется общая точка, и в то же время нет точки, общей всем четырем фигурам.

Если рассмотреть набор выпуклых фигур такой, что каждые две фигуры имеют общую точку, то мы не можем гарантировать наличие общей точки для всех этих фигур. Пример изображен на рис. 3.


Для выпуклых тел в пространстве теорема верна, но с небольшой поправкой: набор выпуклых тел имеет общую точку, если любые четыре тела имеют общую точку.

Эта теорема была сформулирована и доказана в 20-х годах нашего столетия, когда выяснилась важная роль выпуклых фигур в приложениях математики к разным областям знаний, особенно к экономике. Доказал эту теорему австрийский математик Э.Хелли.

Частные мастера Винтовые лестницы на второй этаж

Дренажная система водоотвода вокруг фундамента - stroidom-shop.ru

Правильное создание сайтов в Киеве https://atempl.com/r/