Мы часто рисуем различные линии, в школе изучаем некоторые из них, например, прямую и окружность, знаем о существовании других линий — спиралей, овалов.... Но что такое линия?

Строгое определение понятия «линия» появилось совсем недавно, и оно очень непросто.

Спиралями называют такие линии, которые многократно обходят некоторую точку плоскости. Простейшей спиралью является спираль Архимеда (рис.1), у которой расстояние между витками имеет всюду одинаковую величину.

Гиперболу мы встречаем не так часто, как эллипс или параболу. Ее можно определить таким же образом, как и эллипс. Это те точки плоскости, разность которых до двух выбранных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная. Как и в случае эллипса, эта величина обозначается через 2а, а расстояние между фокусами — через 2с.

Если на двух одинаковых эллипсах нанести зубчики, то получится две шестеренки. Насадим их на оси, отстоящие на расстояние 2а, так, чтобы эти оси проходили через фокусы эллипсов, тогда эти шестеренки будут все время в зацеплении, но при равномерном вращении одной оси другая будет вращаться то быстрее, то медленнее, что часто бывает необходимо в разных машинах и аппаратах.

Параболой называется кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы. Исходя из этого ее определения, легко соорудить чертежный прибор для вычерчивания параболы.

Отец Блеза Паскаля — Этьен Паскаль — служил в парламенте города Клермон-Феррана, как и его предки. Профессию юриста он совмещал с занятиями наукой, поддерживал контакты со многими выдающимися математиками того времени. С великим Ферма он обменивался трудными задачами на построение треугольников; в споре Ферма с Декартом о задачах на максимум и минимум поддерживал Ферма.

Вы никогда не приглядывались к световому пятну от настольной лампы на поверхности стола или от автомобильной фары на асфальте шоссе? Если нет, то возьмите вечером карманный фонарик и поэкспериментируйте с ним. Световое пятно от вертикально расположенного фонарика будет кругом. Немного повернем его, и пятно уже будет иметь форму овала. Такой овал называется эллипсом.

Финикийская царевна Дидона, спасаясь от своего брата, тирана Пигмалиона, отплыла из родного города Тира с небольшим отрядом своих сторонников. Было это, если верить легенде, около 825 года до н.э. Долго плыли царевна и ее спутники по средиземному морю, пока не пристали к берегу Африки. Жили в тех местах нумидийцы. Пришельцы им были совершенно ни к чему. Но Дидоне некуда было деться, место ей понравилось, и царевна стала упрашивать нумидийского царя Ярба продать ей немного земли.

Люди древнего мира путешествовали довольно далеко, и, конечно, им не приходилось рисовать карты и отмечать на них расположение гор и рек, городов и стран, удобные дороги и опасные места... Но пользуясь готовой картой, трудно найти на ней город, если знаешь только его название. (Попробуйте отыскать на глобусе город Ресифи! Даже если я подскажу, что это в южной Америке, вам придется повозиться!)

Рене Декарт родился в 1596 году на юге Франции в небогатой дворянской семье. Когда Рене исполнилось восемь лет, отец отправил его учиться в католический колледж в городе Ла Флеш.

Обучение в школах того времени было оторвано от реальной жизни. Оно опиралось на церковные догмы и авторитет античных мудрецов, прежде всего Платона и Аристотеля.

Кто не держал в руках цепочек? Не всегда их кольца круглые, а в цепочках, которые носят на шее, сразу и не разберешь, что они сделаны из колечек. Цепочкой является и олимпийская эмблема, символизирующая единение всех пяти обитаемых континентов планеты (рис.1). Некоторые художники изображают эти пять колец более тесно сплетенными (рис.1), здесь сцепление напоминает часть кольчуги древнего воина, но кольца неравноправны: одни сцеплены с двумя другими, вторые — с тремя, а среднее кольцо со всеми четырьмя.

Лист Мебиуса относится к числу «математических неожиданностей». Получить его очень просто: склейте из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием поверните один конец на 180 градусов. Если полоска бумаги была длинной, то такой поворот мог произойти случайно. Рассказывают, что открыть свой «лист» Мебиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Научные результаты принадлежат всему человечеству. По крайней мере, это относится к естественным наукам, где результаты истинны или ошибочны вне зависимости от национальности и социального положения автора. И все-таки существует наука китайская, французская, российская...

Российская возникла благодаря петровскому «окну в Европу».

Попробуйте нарисовать «конверт», изображенный на рис.1, одним росчерком пера, т. е. не отрывая ручки от бумаги и не проводя дважды один и тот же отрезок. Ваши попытки будут обречены на неудачу. А вот «распечатанный конверт», изображенный на рис.2, совсем нетрудно нарисовать, выполнив указанные условия. В чем здесь дело?

Посмотрите на рис.1: три графа, изображенные на нем, по сути одинаковы. Все они имеют по четыре вершины и каждая вершина связана с ребром каждой. Для графа, как уже говорилось, несущественно, какой именно линией связаны вершины графа в качестве ребра, поэтому все три графа на этом рисунке являются изображениями одного и того же графа, хотя на первом рисунке его ребра пересекаются, а на остальных — нет.

В далеком 1852 году студент лондонского университета Гутри раскрашивал карту Англии, желая, чтобы на ней граничащие графства были окрашены в различные цвета. Он обнаружил, то для такой раскраски вполне достаточно четырех красок и предположил, что четырех красок достаточно для правильной раскраски любой карты. Раскраска правильная, если граничащие страны окрашены в различные цвета.

Помимо круга, квадрата, треугольников существует масса других геометрических фигур. Дать всем им название не представляется возможным. Поэтому, как в биологии, где растения и животных разделяют на классы, геометрические фигуры разделяют на классы фигур, похожих между собой. Одним из таких классов являются выпуклые фигуры.

Игру на бильярде любят многие, жаль лишь, что бильярдных столов не так много, как хотелось бы. Игра на бильярде требует не только верного глаза и сильного удара, но и точного расчета. Легендарный маршал С.М.Буденный говорил: «Играя на бильярде, я беру уроки физики и геометрии». В бильярдной игре много тонкостей, связанных с ударами не по центру шара, а вбок или сверху, что заставляет шар вращаться, а это делает траекторию шара криволинейной. Такие эффекты были описаны известным физиком Кориолисом в книге «Математическая теория бильярдной игры».

Логика ведет свое происхождение от ораторского искусства. Убедить собеседника невозможно, если оратор сам себе противоречит (уж если ты сказал, что снег белый, не следует ссылаться на его черноту...). В Древней Греции, где важнейшие вопросы решались на советах, всякий уважающий себя философ, политический деятель или литератор старался строить речь так, чтобы она была доходчива и разумна.

В 366 году до нашей эры в Академии Платона появился новый ученик. Он был родом из Стагира, и было ему 18 лет. Ученика звали Аристотель.

Почти 20 лет провел Аристотель в Академии. Из ученика он превратился в мудреца-философа, соперничавшего в знаниях и глубокомыслии с самим Платоном. Это соперничество подчас становилось весьма острым, но ни разу научные споры Платона с Аристотелем не переросли в личную вражду.

Всякое высказывание может быть истинным или ложным. Третий вариант трудно себе представить, поэтому древнегреческие философы и пользовались «принципом исключенного третьего» — считали, что не может утверждение быть и не истинным, и не ложным. Вслед за ними так считаем и мы. Логика без принципа «исключенного третьего» упоминается разве лишь в фантастических романах, да и то в шутку...

К четвертому веку до нашей эры греческая наука накопила множество разнообразных фактов и методов. Казалось, ничто не может сдержать людей в познании окружающего мира. И только самые проницательные мудрецы осмеливались задавать вопрос: а насколько достоверны наши знания?

Наиболее известным среди этих сомневающихся стал Сократ. «Я знаю только то, что я ничего не знаю, — говорил он. — А другие не знают даже этого».

Три дамы едут в поезде через туннель. Паровоз дымит, и на лицах дам оказываются пятна сажи. Поезд выбирается из туннеля, в купе снова становится светло, и леди начинают весело смеяться, глядя друг на друга. Потом одна задумывается: «Неужели миссис Джонс не понимает, что над ней смеются?.. О боже, они обе смеются надо мной!»

Знаете ли вы, что среди зрителей, сидящих в Большом театре во время спектакля, обязательно есть люди, родившиеся в один и тот же день одного и того же месяца? Считайте сами: в зале Большого театра 2000 мест. И даже если не все они заполнены (что в этом знаменитом театре бывает нечасто), можно смело утверждать, что на спектакле собралось более 366 человек. Но 366 — это максимально возможное число дней в году, считая 29 февраля.

Можно ли доказать, что 0 = 1? Думаете, нет? А что вы скажете о следующем рассуждении: «Если половина чего-либо одного равна половине чего-либо другого, то одно равно другому. Но полупустое ведро — то же самое, что и полуполное. Значит, пустое ведро и полное ведро — одно и то же».

Вы считаете, что вас обманывают? Потрудитесь указать, в каком именно месте.

Вспоминая о Зеноне Элейском, нельзя не рассказать о самой эффектной из его апорий, в которой быстроногий Ахиллес и медлительная черепаха соревнуются в беге. Ахиллес дает черепахе фору, и забег начинается. Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Он рассуждает так: за время, которое понадобится Ахиллесу, чтобы добежать до места старта черепахи, она тоже сдвинется на какое-то расстояние.

Иосиф Флавий, знаменитый писатель первого века нашей эры, был также одним из вождей восставшей Иудеи. Об Иудейской войне (66—73 гг) он написал знаменитую книгу, в которой рассказал и историю своего пленения Титом Флавием Веспасианом, тогда — полководцем, а впоследствии римским императором.

Рассмотрим такую задачу: для каких двух натуральных чисел разность их квадратов равна 455? Обозначим одно из чисел через л, а второе через ть + к. Разность их квадратов равняется 455, поэтому 2пк + д2= = 455. Как найти пик, удовлетворяющие этому уравнению? Для начала разложим на множители левую и правую части уравнения: п(2к + п) — 5-7-13. Первое число слева меньше второго, поэтому оно может равняться либо 1, либо 5, либо 7, либо 13.

Эта игра пришла к нам из буддийских храмов, ее возраст исчисляется тысячелетиями. Наверное, от нее произошла детская игрушка — пирамидка, стержень с надетыми на него дисками разной величины. Перенести эти диски с одного стержня на другой — задача посильная и трехлетнему малышу, но если мы возьмем еще один стержень (см.рис.) и разрешим снимать лишь по одному диску и класть их так, чтобы всегда сверху каждого диска лежали лишь диски, меньшие его, то без помощи третьего стержня никак не обойтись, да и с третьим стержнем эта задача совсем непроста.

Те, кто считает, что единственными персонажами математических задач являются Икс и Игрек, жестоко ошибаются. Страна Математия населена массой различных существ. Частенько математики посещают остров, на котором всего два города, в одном из которых живут лжецы, которые все время лгут, а в другом — правдивые, говорящие только правду.