Решение текстовых задач играет в математическом образовании очень важную роль. Одним из основных показателей глубины усвоения учащимися учебного материала и уровня математического развития является умение решать задачи, текстовые в том числе. Поэтому обучению решению текстовых задач уделяется много внимания, программами выделяется большое количество часов на решение текстовых задач.

Согласно программе, работа над текстовыми задачами в начальной школе занимает около 60% времени. Задачи выступают и целью обучения и его способом. Посредством задач у учащихся формируются математические понятия, исследуются математические законы. Задачи являются средством развития логического мышления, показывают значение математики в повседневной жизни, помогают детям использовать полученные знания в практической деятельности.

Для текстовой арифметической задачи различные авторы предлагают следующие определения.

1. Арифметической задачей называют требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой (Богданович М.В.).

2. В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (Бантова М.А.).

Любая задача состоит из предметной области, отношений, которые связывают объекты этой области, требования задачи и оператора (решения).

Под предметной областью понимают множество рассмотренных в задаче объектов, которые вместе со связывающими их отношениями образуют условие задачи.

Требование задачи – то, что необходимо найти в результате ее решения.

Под оператором задачи понимают совокупность действий, которые необходимо выполнить в соответствии с условием задачи над ее данными.

С точки зрения не математика хочется назвать простой задачу, которая кажется легкой в решении и, по этой ассоциации, кажется, что другие задачи будут сложными.

Однако математики делят задачи на простые и составные (сложные) по другому признаку: количеству выполняемых арифметических действий. Простой называют задачу, которая решается при помощи одного действия, а под составной понимают задачу, в решении которой используют два или более действий.

Если в задаче нельзя выделить другую задачу, то это простая задача, если можно – то составная (сложная) задача. Составную задачу можно разложить на простые или составные подзадачи, решение которых приводит к решению основной составной задачи. Разложение составной задачи на простые не всегда однозначно. Это означает, что задачи можно решать различными способами.

Классификация простых и составных задач, решаемых в начальной школе, производится по признаку отношения к теории, т.е. задачи подразделяются на стандартные и нестандартные. Некоторые методисты называют эти задачи соответственно алгоритмическими и эвристическими. При этом стоит отметить, что данное деление является условным, в связи с тем, что любая из задач может содержать как стандартный, так и нестандартный (творческий) компонент.

Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий в школьном курсе математики выделяют следующие виды задач, отвечающие таким признакам:

Сама пропедевтика к решению задач делится на два этапа – первый и второй (приёмы, выделенные З.П. Матушкиной). На наш взгляд, называть эти направления работы по пропедевтике решения задач одного вида этапами не корректно, т.к. они взаимопроникают друг в друга, часто осуществляются параллельно. Поэтому назовем их направлениями пропедевтики.

Первое направление пропедевтики

Само направление представляет собой набор приемов, которые формируют навыки работы с любой задачей, в начальной школе эта работа проводится на протяжении всего времени работы над задачами. Данный этап можно назвать этапом формирования навыков работы над любой задачей, так как он содержит основные приемы работы над содержанием задачи, оформлением краткой записи.

Рассмотрим методическую схему, на которую должен ориентироваться учитель при организации работы над задачами. Основой данной схемы являются содержательные обобщения:

На этом этапе прочитывается (прослушивается, рассматривается и т.д.) задача. Решающий для себя должен полностью уяснить её смысл. Понимание содержания задачи представляет собой необходимое условие для ее решения. Прежде, чем решать задачу, ребенок должен запомнить её, понять, о чем идет речь в задаче. Для этого задача прочитывается один – два раза про себя, затем вслух детьми, если дети читают хорошо или учителем. Далее, в случае необходимости, проводится словарная работа (разъяснение смысла терминов, используемых в задаче), описание жизненной ситуации, которая рассматривается в задаче, можно задачу разбить на смысловые ситуации. Затем задача повторяется вслух и одновременно, если это необходимо, иллюстрируется краткой записью или другим удобным способом. Часто бывает полезно, чтобы дети описали ситуацию, которая происходит в задаче своими словами, как они её понимают (словесная картинка). Ребенок не должен приступать к решению задачи, не имея четкого представления о ее содержании.

Некоторые авторы относят составление краткой записи к задаче к этапу поиска способа решения задачи, а не к этапу анализа условия задачи (М.А. Бантова). На наш взгляд, это действительно так, т.к. составление краткой записи задачи часто позволяет определить ее решение (неявный поиск способа решения).

Работая над планом решения задачи, ученик должен выделить все возможные связи между величинами, которые прослеживаются в данной задаче (даже, если затем их не нужно будет задействовать в решении).

Во время разбора задачи можно составить иллюстрацию к ней. Иллюстрация к задаче, её краткая запись, составление схемы или чертежа, таблицы являются вспомогательными средствами, но, чаще всего именно они помогают ученику вникнуть в смысл задачи, выявить зависимости между величинами и найти план решения задачи.

Необходимое условие решения сложной задачи – умение решать простые задачи, к которым сводится любая составная задача. При наличии такого умения вся проблема состоит в том, чтобы найти ту совокупность простых задач, решение которых приведет к выполнению требования основной задачи. Здесь возможны два основных пути поиска решения: синтетический и аналитический (по Н.В. Метельскому).

Часто при решении составной задачи многие ученики берут любое данное из условия задачи и к нему присоединяют какое-либо из остальных данных. Если эти данные образуют простую задачу, то ее решают, если простой задачи не получилось, образуют другую пару данных и в результате решения первой простой задачи получают первое вспомогательное данное. Используя вспомогательное данное и какое-либо из остальных данных основной задачи, решают вторую простую задачу и получают второе вспомогательное данное и т. д., до тех пор, пока не получат такой простой задачи, результат которой является искомым основной задачи.

На основе аналитического и синтетического методов решения задач при работе над поиском решения задачи применяются два основных способа разбора задачи: аналитический (анализ) и синтетический (синтез). Однако на практике чаще употребляют аналитическо-синтетический разбор задачи.

Под анализом подразумевают способ рассуждений от общего к частному (анализировать – разбивать на составляющие), таким образом при разборе текста задачи от вопроса к данным применяется аналитический способ.

Под синтезом подразумевают способ рассуждений от частного к общему (синтезировать – получать из частей). В задачах это разбор от данных к вопросу, однако, назвать этот метод чисто синтетическим нельзя, т.к. прежде, чем получать метод разбора от данных к вопросу, эти данные нужно предварительно вычленить из задачи, т.е. проанализировать условие задачи.

Запись арифметического решения задачи может быть выполнена по-разному:

1. по действиям с ответом;

2. по действиям с пояснениями после каждого действия;

3. с вопросами перед каждым действием;

4. по действиям с предварительной записью плана;

Программа по математике для начальных классов ориентирует на обязательное овладение всеми учащимися различными способами проверки решения задач. Работа по формированию навыков контроля и самоконтроля при решении задач очень важна. Ведь проверка решенной задачи позволяет не только убедиться в правильности решения, но и способствует более глубокому пониманию и осмыслению ее математического содержания, осознанию связей между величинами, представленными в задаче. Однако, как правило, при проверке решения задачи активное участие принимают лишь некоторые ученики, ведущие объяснение. Остальные же занимают позицию пассивных слушателей, или исполнителей, даже если задача была решена ими неправильно.

Сразу отметим, что многие методисты считают последующую и творческую работу над задачами аналогичными. На наш взгляд, это не верно. Во время последующей решению работы над задачей можно выполнять творческие задания, однако не всякая творческая работа над задачей является последующей решению.

При организации деятельности учащихся над задачей после ее решения (последующей) можно использовать следующие виды работы:

элементарное исследование решения задачи (при каких условиях задача имеет одно или несколько решений и не имеет решения; как будет изменяться ответ задачи, если изменять данные и т.д.);

Как было сказано выше, задачи в начальном курсе математики выполняют разнообразные функции – обучающие, воспитывающие, развивающие, контролирующие и т.п.

Рассмотрим развивающие функции задач.

Как известно, усвоение основного курса начальной математики не влечет за собой ни математического, ни общего развития. К сожалению, современные учителя часто уравнивают или подменяют одно другим понятия «развитие» и «информированность». Еще Л.С. Выготский на вопрос «Чем отличается в умственном развитии ребенок, которого мы научили читать, от ребенка, который читать не умеет?» отвечал, что только одним – он умеет читать. В умственном же развитии этого ребенка ничего не прибавляется, «это тот же самый ребенок, только грамотный».

Введем понятие задач с достаточным количеством данных, с недостающими данными и избыточными данными (по Н.В. Метельскому).

Если между условием задачи (А) и ее требованием (Х) установлено соотношение, определяющее одно или несколько определенных решений, то задачу считают определенной. Этот тип задачи можно условно изобразить формулой импликации: AÞX, которую будем понимать так: условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения требования Х.

Под деформированной задачей будем понимать задачу, в которой вместо числовых данных или ключевых слов стоят «окошки». В «окошки» нужно вставить недостающие числовые данные либо слова и решить полученную задачу.

Например:

1. Сын c отца на 25 лет. Сколько лет сыну, если отцу 45 лет?

2. В вазе стояло c белых роз и 14 красных. Сколько всего роз в вазе?

Формой организации учебно-познавательной деятельности младших школьников называется их организация на каком-либо этапе урока или его временном промежутке, которая характеризуется количеством учащихся, строго определенным типом взаимосвязи учащихся между собой, с учителем, а также способом управления учебно-познавательной деятельностью учащихся со стороны учителя.

При всем разнообразии определений различных форм учебно-познавательной деятельности практически все авторы выделяют среди них индивидуальные, групповые и фронтальные. Кроме того, некоторые авторы выделяют отдельно индивидуальные и коллективные формы организации учебно-познавательной деятельности учащихся (В.К. Дьяченко, В.Ф. Ефимов, В.А. Выхрущ, Ю.И. Малеванный), взаимообучение (О.С. Падалка, А.С. Нисимчук, А.Т. Шпак), личностно-ролевую форму (Л.М. Фридман).

Современные исследования еще и еще раз подтверждают необходимость организации дифференцированной работы с различными учащимися как одного из средств осуществления индивидуализации обучения младших школьников в условиях классно-урочной системы.

Для обоснования необходимости организации дифференцированной работы над задачами в начальных классах приведем пример решения задач несколькими школьниками (экспериментальные данные В.А. Крутецкого).

При организации дифференцированного обучения, и работы над задачами в том числе, кроме классификации В.А. Крутецкого по уровню математических способностей, можно использовать разные подходы к типологии групп учащихся на уроках математики. Рассмотрим их.

Часто основные трудности в решении задач происходят в процессе восприятия исходных данных в задаче, а не в сфере действий, которые должны следовать за этим восприятием. Перед решением любой задачи каждый решающий производит аналитико-синтетическое осмысливание материала задачи. В.А. Крутецкий выделяет наличие существенных особенностей в характере восприятия математического материала школьниками, способными к математике, школьниками со средним уровнем способностей к математике и неспособных к математике школьников.

Проанализируем особенности восприятия задач нового вида учащимися разных типологических групп, которая составлена нами на основе данных В.А. Крутецкого.

Рассмотрим схему организации учебно-познавательной деятельности учащихся, которая составлена на основе схемы Т. Горы и С.А. Логачевской.

Схема

При организации самостоятельной работы учащихся над задачами М.В. Богданович выделяет следующие три вида дифференциации:

1.   Индивидуализация требований к общему заданию:

постановка нескольких вопросов к одному условию, каждый отвечает на столько вопросов, на сколько ему по силам;

варьирование требований к решению задачи;

Домашние задания, как справедливо отмечает А.Я. Савченко, тоже необходимо дифференцировать. Дифференциацию можно осуществлять по объему задания и его сложности.

Задание может быть как одинаковым по содержанию, так и различным. Например: некоторые учащиеся вообще не получают домашнего задания; некоторым учащимся предлагают решить только задачи определенного вида; задачи «на выбор» – одну из двух – трех; самим выбрать задачи для домашней работы и т.д.