Цели и задачи: познакомить учащихся с рациональными способами вычислений выражений, содержащих степени с помощью дистрибутивности умножения.

Основная идея урока: в степень возводить сложно, особенно в большую. Есть риск ошибиться. Особенно, если возведение производится несколько раз и в разные степени.
Вынесение степени за скобку позволит разложить выражение на множители. Например, 32+33=32(1+3)= 32*4=32*22=62=36.
Разложение на множители поможет в решении целого ряда задач:

рациональные вычисления

упрощение выражений

сокращение дробей

делимость и др.

Рациональные вычисления
212–211=211(2–1)= 211=2048. Таким образом, возводить в степень пришлось 1 раз, а не 2.

Заодно вспомнили деление степеней.

Многократное применение этой же идеи.
212–211–210–29–28–27–26–25=211–210–29–28–27–26–25=210–29–28–27–26–25=29–28–27–26–25=…=25=32.

Идея «наоборот»
213+213=213(1+1)=2*213=214=16384. Таким образом, возводить в степень пришлось 1 раз, а не 2.

Заодно вспомнили умножение степеней.

И она же в многократном исполнении
211+210+29+28+27+26+25+25=211+210+29+28+27+26+26=211+210+29+28+27+27=…=212=4096.

Что делать, если нет одинаковых степеней
29+28+27+26+25+24=…

Если Бога нет, надо его выдумать!

29+28+27+26+25+24=29+28+27+26+25+24+24–24=210–24=1024–16=1008. – если нас интересует результат.
Или 210–24=24(26–1)= 24*63=24*9*7=24*32*7 – если нас интересует разложение на множители

Очень полезное правило.

А что, если показатели степеней двойки убывают до предела, т.е. мы складываем числа, каждое из которых вдвое больше предыдущего, начиная с 1?
28+27+26+25+24+23+22+2+1=29–1=511

А если показатели степеней не связаны зависимостью?

Применяется та же логика действий:
29+28+26=26(23+22+1)=13*26

А если…

Остальные «если» мы разберём на следующем уроке. А пока подведём итоги:
При сложении или вычитании степеней одного числа разумно вынести за скобки это число в наименьшей из степеней
Для степеней двойки существует ряд интересных закономерностей, позволяющих рационализировать вычисления