logo
 

НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА

Цели и задачи урока: формирование у учащихся понятий о верных и неверных числовых равенствах и свойствах числовых равенств. Формирование умения определять верные числовые равенства, составлять числовые равенства, используя свойства числовых равенств. Развитие мышления, анализа, умения доказывать и делать обоснованные выводы.

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы поговорим с вами о равенствах.

Равенство − понятие, знакомое каждому, кто хоть раз сравнивал какие-либо объекты.
(Рассмотрим равенство на примере яблок − несколько яблок лежат на столе − вот про эти мы бы сказали, что они равные, а вот про эти − нет.)
Точно так же и в математике, только здесь мы говорим о равенстве чисел между собой, о равенстве числовых выражений.

Равенство − это запись двух выражений или чисел, между которыми ставится знак равно. Знак равно или знак равенства записывается известным способом: =.
Кстати, а вы знаете, что первым знак равенства ввёл в 1556 году английский математик и врач Роберт Рекорд, который объяснил это так: ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

Знакомство с числовыми равенствами начинается ещё в 1 классе, сразу после того, как обретает смысл фраза «столько же».
Первые числовые равенства выглядят так: 1 = 1, 5 = 5.
(И поясняют их следующие картинки: на двух полках лежит по две одинаковые книги, на двух ветках дерева сидят по 7 воробьёв).

После изучения арифметических действий, появляются более разнообразные записи числовых равенств, например,
32 + 10 = 42, 17 – 12 = 5, 13 · 2 = 26, 80 : 4 = 20 и т. п.

Дальше начинают встречаться числовые равенства ещё более интересного вида, содержащие в своих частях различные числовые выражения, к примеру,
(12 + 1) + 3 = 12 + (1 + 3), 40(4 − (1 + 2)) + 12 : 4 – 1 = 4 · 1 + 3 − 1 и тому подобные.

По мере того, как происходит знакомство с другими видами чисел, и числовые равенства приобретают всё более и более разнообразный вид.

Что же такое числовое равенство, дадим определение:
Числовое равенство – это равенство, в обеих частях которого находятся числа и/или числовые выражения.

Числовые равенства записывают в виде двух частей, стоящих слева и справа от знака равно. Поэтому они так и называются − левая часть равенства, правая часть равенства.
(На рисунке показать, где какая часть, например, высвечивая цветом).

В каждой части равенства могут стоять как просто числа, так и числовые выражения.
Например, 18 = 15 + 3, в левой части число 18, а в правой части числовое выражение 15 + 3.
Или такое равенство: 17 + 5 = 2 · 11, где и в левой и в правой частях равенства стоят числовые выражения.

Давайте рассмотрим несколько равенств:
12 + 6 = 15 + 3
17 + 5 = 2 · 11
2 + 12 = 10 + 1
посмотрите на них внимательно!..

Наверное, заметили, что первые два равенства – верные, а вот третье – нет. Действительно, равенства бывают верные и неверные. Равенство верное, если числа или числовые выражения в правой и левой части равенства принимают одинаковые значения.

Верно или нет равенство – как узнать?
Нужно вычислить значение выражений в каждой части и сравнить их. Давайте узнаем, верное ли равенство перед нами?
(3 · 2 + 17) – 8 : 4 = 110 – (10 + 3 · 27)
Да, после вычислений получаем слева и справа число 19, 19 = 19, значит равенство верное.
Вы сможете легко привести примеры верных и неверных равенств.

То есть сделаем вывод: когда мы берём числовое выражение и начинаем последовательно выполнять указанные в нём действия, то в конце мы получим одно число, которое и называют значением выражения. Два выражения считаются равными, если они имеют одно и то же значение.

В математике всё между собой взаимосвязано, поэтому на свойствах числовых равенств потом основываются и свойства числовых неравенств, и методы решения уравнений, и вывод формул, именно поэтому важно понимать и знать свойства числовых равенств.

Давайте их сформулируем:
1. Свойство рефлексивности: a = a;
2. Свойство симметричности: если a = b, то b = a;
3. Свойство транзитивности: если a = b и b = c, то a = c, где a, b и c – произвольные числа.

Доказать все эти свойства можно очень легко, используя определение равных чисел через разность: число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность ab равна нулю.
Например, докажем первое свойство: для любого числа a справедливо равенство aa = 0. Действительно, разность aa можно переписать в виде суммы a + (−a), а из свойств сложения чисел мы знаем, что для любого числа a существует единственное противоположное число −a, и сумма противоположных чисел равна нулю.

Рассмотрим доказательство третьего свойства:
Равенствам a = b и b = c отвечают равенства ab = 0 и bc = 0. Покажем, что ac = 0, откуда будет следовать равенство чисел a и c. Так как прибавление нуля не изменяет число, то ac можно переписать как a + 0 − c. Нуль заменим суммой противоположных чисел −b и b, при этом последнее выражение примет вид a + (−b + b) − c. Теперь можно выполнить группировку слагаемых следующим образом: (ab) + (bc). А разности в скобках есть нули, следовательно, и сумма (ab) + (bc) равна нулю. Этим доказано, что при условии ab = 0 и bc = 0 справедливо равенство ac = 0, откуда a = c.
Например, если 2 + 12 = 2 · 7, и 2 · 7 = 10 + 4, то 2 + 12 = 10 + 4.

Дополним эти свойства ещё несколькими очень важными свойствами:
4. Если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное числовое равенство.
С помощью букв оно может быть записано так: если a = b, где a и b – некоторые числа, то a + c = b + c для любого числа c.
(Пример: На рынке весы, у которых две чашки, на них лежат яблоки, весы уравновешены, если добавить на обе чашки весов по гире в 1 кг или 2 кг или любое другое количество, но одинаковое для двух чашек, то весы останутся уравновешенными).
Докажем это свойство: составим разность (a + c) − (b + c). Её можно преобразовать к виду (ab) + (cc). Так как a = b по условию, то ab = 0, и cc = 0, поэтому (ab) + (cc) = 0 + 0 = 0. Этим доказано, что (a + c) − (b + c) = 0, следовательно, a + c = b + c.

5. Если обе части верного числового равенства умножить на любое число или разделить на отличное от нуля число, то получится верное числовое равенство.
То есть, если a = b, то a · c = b · c для любого числа c, и если c – отличное от нуля число, то и a : c = b : c.
Доказывается ещё проще: a · c b · c = (ab) · c = 0· c = 0, откуда следует равенство произведений a · c и b · c. А деление на отличное от нуля число c можно рассматривать как умножение на обратное число 1/c.

6. Если почленно сложить верные числовые равенства, то получится верное равенство.
То есть, если a = b и c = d, то a + c = b + d для любых чисел a, b, c и d.
Доказательство проведём, основываясь на уже известные нам свойства. Известно, что к обеим частям верного равенства мы можем прибавить любое число. В равенстве a = b прибавим число c, а в равенстве c = d прибавим число b, в результате получим верные числовые равенства a + c = b + c и c + b = d + b, последнее из которых перепишем как b + c = b + d. Из равенств a + c = b + c и b + c = b + d по свойству транзитивности следует равенство a + c = b + d, которое и требовалось доказать.

7. Если почленно перемножить два верных числовых равенства, то получится верное равенство.
Сформулируем его формально: если a = b и c = d, то a · c = b · d.
Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства со сложением.

И напоследок давайте ещё поговорим о равенстве с переменной. Если в запись равенства входит буква – обозначение любого числа, то оно будет называться равенством с переменной. Например, а + 3 = 10, 2х – 5 = х + 1, и другие.
Равенство может быть или верным или неверным в зависимости от того, что находится в правой и левой частях, а равенство с переменной – неизвестно какое, оно может быть верным при одних значениях переменной и неверным при других.
Равенство а + 3 = 10 верно при а = 7 и неверно при а = 8.
Это понятие пригодится нам, когда дальше мы будем говорить с вами об уравнениях.

Итак, подводя итог всему сказанному: числовое равенство – это равенство, в обеих частях которого находятся числа и/или числовые выражения. Любое равенство имеет левую и правую части. Равенства бывают верные и неверные. Числовые равенства обладают рядом свойств, для удобства запишите все свойства числовых равенств в таблицу.

Рекомендуемые тренажёры:

Задание 1.
Вычислите значение выражения в правой части равенства
90 + (–2) · ( –4) = ((16(–3) + 15(–4)) · 4): 4
а) 98
б) 108
в) –108
г) 72

Задание 2.
Не находя значения выражений, найдите равные между собой выражения:
а) 25 – 13 + 25
б) 25 – (13 + 25)
в) 13 + 2 · 25
г) (25 – 13) + 25

Ответы:
1. в
2. а–г

Рекомендуемые тесты.
Задание 1.
Запишите равенство с помощью чисел и знаков арифметических действий.
В правой части равенства стоит сумма утроенного произведения чисел 4 и 5 с половиной разности чисел 10 и 8. В левой части стоит разность числа 66 и обратного к числу 1/5.
а) 3 · 4 · 5 + ½ (10 – 8) = 66 – 5
б) 66 – 5 = 3 · 4 · 5 + ½ (10 – 8)
в) 66 + 1/5 = 3 · 4 · 5 + ½ (10 – 8)
г) 66 – 5 = 3(4 · 5 + (10 – 8)) / 2

Задание 2.
Определите, что стоит в левой части равенства 3 · 4 = 7 + 5
а) Сумма
б) Произведение
в) Частное
г) Разность

Задание 3.
Определите верное равенство:
а) (30,5 – 4 · 2,4) : (–0,87 – 0,23) = –10 – 30 · 0,3
б) 5/6 – 22/3 · 6/11 + 4/33 = –67/11
в) 71 – 12(1 – 3(14 – 5)) = 23 – (12 + (–3) · 3) – (–5)
г) 1,22 + 1,52 = 1,32 + 1,42

Ответы:
1. б
2. б
3. а

 

Частные мастера Винтовые лестницы на второй этаж

Полное описание первых признаков и выраженных симптомов при гепатите В здесь

Дренажная система водоотвода вокруг фундамента - stroidom-shop.ru

Правильное создание сайтов в Киеве https://atempl.com/r/

Поиск

 

Блок "Поделиться"

 

 

Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru

Copyright © 2022 High School Rights Reserved.